Рівняння Дена — Сомервіля

Рівняння Дена — Сомервіля повний набір лінійних співвідношень на кількість граней різних розмірностей у простого многогранника.

Формулювання

Для даного простого $n$-вимірного многогранника $P$ позначимо через $f_{k}$ кількість граней $P$ розмірності $k$, зокрема $f_{n}=1$. Розглянемо формальну суму

$\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}$

тоді рівняння Дена — Сомервіля мають вигляд

$h_{k}=h_{n-k}$

для кожного цілого $k$.

Зв'язані означення

• Послідовність $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$ називається f-вектор многогранника.
• Послідовність $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ називається h-вектор многогранника.

Історія

У розмірностях 4 і 5, співвідношення були описані Деном. В загальному випадку рівняння були описані Сомервілем в 1927.