Правило Паскаля

Не плутати із законом Паскаля.

У математиці правило Паскаля (або формула Паскаля) — це комбінаторна тотожність щодо біноміальних коефіцієнтів. Вона стверджує, що для натуральних чисел $n$ і $k$ , справедливе наступне співвідношення:

${n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k},$

де ${\tbinom {n}{k}}$ — біноміальний коефіцієнт; одна з інтерпретацій якого — це коефіцієнт при $x^{k}$ у розкладі $(1+x)^{n}$. Не існує обмежень щодо відносних значень $n$ і $k$, оскільки, якщо $n<k$, то значення біноміального коефіцієнта дорівнює нулю, і тотожність залишається вірною.

Правило Паскаля також можна узагальнити на випадок мультиноміальних коефіцієнтів.

Комбінаторне доведення

Правило Паскаля допускає інтуїтивне комбінаторне розуміння, що чітко продемонстровано в цьому обчислювальному доведені.

Доведення. Нагадаємо, що ${n \choose k}$ — це кількість підмножин з $k$ елементів у множині з $n$ елементів. Припустимо, один конкретний елемент однозначно позначений як $X$ у наборі з $n$ елементів.

Для побудови підмножини з $k$ елементів, що містять $X$, виберемо $X$ та $k-1$ елементів із решти $n-1$ елементів множини. Є ${n-1 \choose k-1}$ таких підмножин.

Для побудови підмножини з $k$ елементів, що не містять $X$, виберемо $k$ елементів із решти $n-1$ елементів множини. Є ${n-1 \choose k}$ таких підмножин.

Кожна підмножина з $k$ елементів або містить $X$, або ні. Загальна кількість підмножин з $k$ елементами в множині з $n$ елементів — це сума кількості підмножин, що містять $X$, і кількості підмножин, які не містять $X$, ${n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$. Це дорівнює ${n \choose k}$, тому

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.$

Алгебраїчне доведення

Як альтернативу, можна вивести алгебраїчне доведення біноміального випадку

${\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {n-k}{k!(n-k)!}}+{\frac {k}{k!(n-k)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {(n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {(n!}{k!(n-k)!}}\\&={n \choose k}.\end{aligned}}$

Узагальнення

Правило Паскаля можна узагальнити на випадок мультиноміальних коефіцієнтів.

Для будь-якого натурального $p$, такого, що $p\geq 2$, ${k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}\in {\mathbb {N} }$, і $n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\dots +k_{p}\geq 1$,

${n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}},$

де ${n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}$ — коефіцієнт при $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{p}^{k_{p}}$ у розкладі $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}$.

Алгебраїчне доведення для цього загального випадку полягає в наступному. Нехай $p$ --- натуральне число, таке, що $p\geq 2$, $k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,$ and $n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1$. Тоді

${\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}$

Див. також

• Трикутник Паскаля
• Бієктивне доведення

Бібліографія

• Merris, Russell. Combinatorics. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

Зовнішні посилання

• Central binomial coefficient на PlanetMath
• Binomial coefficient на PlanetMath