Двоїста категорія

Двоїста категорія або дуальна категорія, до категорії $C$ — категорія $C^{\circ }$ з тими ж об'єктами, що і $C$ і з множинами морфізмів $Hom^{\circ }(A,B)=Hom(B,A)$ («обернення стрілок»). Композиція морфізмів у $f$ і $g$ у категорії $C^{\circ }$ визначається як композиція $g$ і $f$ у $C$. Поняття і твердження стосовно категорії $C$ замінються двоїстими поняттями й твердженнями у $C^{\circ }$.

Так, поняття епіморфізму двоїсте поняттю мономорфізму, поняття проєктивного об'єкта — поняттю ін'єктивного об'єкта, прямий добуток — прямій сумі і т. д. Контраваріантний функтор на C стає коваріантним на $C^{\circ }$.

Іноді двоїста категорія має безпосередню реалізацію: так, категорія дискретних абелевих груп еквівалентна двоїстій категорії до категорії компактних абелевих груп (двоїстість Понтрягіна), а категорія афінних схем еквівалентна двоїстій категорії до категорії комутативних кілець з одиницею.

Прилади

• Категорія булевих алгебр еквівалентна двоїстій категорії просторів Стоуна і неперервних функцій.
• Категорія афінних схем еквівалентна двоїстій категорії комутативних кілець.
• Двоїстість Понтрягіна можна обмежити на еквівалентність категорії компактних гаусдорфових абелевих топологічних груп і двоїстій категорії (дискретних) абелевих груп.
• За теоремою Гельфанда — Ноймарка категорія локально вимірнихх просторів (і вимірних функцій) еквівалентна двоїстій категорії комутативних алгебр фон Неймана.

Властивості

• $({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{op}\cong {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {D}}^{op}$ (див. Категорія добутку)
• $(Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}}))^{op}\cong Funct({\mathcal {C}}^{op},{\mathcal {D}}^{op})$ (див. Категорія функторів)
• $(F\downarrow G)^{op}\cong (G^{op}\downarrow F^{op})$ (див. Категорія коми)

Література

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].