Z-перетворення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти , тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.

Визначення

[ред. | ред. код]

Дискретна функція є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу Таку функцію можна записати у вигляді де - неперервна змінна. Ця функція характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу) й примає її значення у моменти Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція яка приймає значення неперервної функції у моменти

-перетворення - це співвідношення[1]

яке ставить у відповідність дискретній функції функцію комплексної змінної При цьому називається оригіналом, а - зображенням або -зображенням.

-перетворення також умовно записується у вигляді

а зворотне -перетворення - у вигляді

-перетворення із зміщеною ґратчастою функцією тобто співвідношення

називають модифікованим -перетворенням. Це перетворення також записується у вигляді

Наприклад, нехай потрібно визначити -зображенням зміщеної ґратчастої функції та зміщеної ґратчастої функції Оскільки за усіх то

По формулі нескінченно спадаючої геометричної прогресії

Властивості

[ред. | ред. код]
  • існують додатні числа та такі, що

Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей -перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають фукціями-оригіналами.

  1. Лінійність. Модифіковане -перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих -перетворень: Тут - константи.
  2. Запізнювання. Модифіковане -перетворення від функції із запізнюваним аргументом визначається як:
  3. Випередження. Модифіковане -перетворення від функції із випереджуючим аргументом визначається як: Якщо (початкові умови нульові), то
  4. Згортання. Добуток зображень та дорівнює -перетворенню від згортання їх оригіналів та :
  5. Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції по її звичайному та модифікованому -зображенню визначається як: Границя за умови, що вона існує, визначається як:

Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.

Двостороннє Z-перетворення

[ред. | ред. код]

Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:

.

де n — ціле, z — комплексне число.

,

де A — амплітуда, а  — кутова частота (у радіанах на відлік)

Одностороннє Z-перетворення

[ред. | ред. код]

У випадках, коли x [n] визначена тільки для , одностороннє Z-перетворення задається як:

.

Зворотне Z-перетворення

[ред. | ред. код]

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

,

де C — контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).

Поклавши в попередній формулі , отримаємо еквівалентне визначення:

Таблиця деяких Z-перетворень

[ред. | ред. код]

Позначення:

Сигнал, Z-перетворення, Область збіжності
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Див. також

[ред. | ред. код]


  1. Ким Д.П. Теория автоматического управления (том 1).