W-функція Ламберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

W-функція Ламберта визначається як обернена функція до , для комплексних . Позначається чи . Для довільного комплексного справедливо:

-функція Ламберта не може бути виражена в елементарних функціях. Застосовується в комбінаториці, наприклад, при підрахунку кількості дерев, та при розв'язку рівнянь.

Історія

[ред. | ред. код]

Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW. Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.

Многозначність

[ред. | ред. код]
Дві головні гілки функції та
Графік W0(x) для −1/ex ≤ 4

Оскільки функція не є ін'єктивною на інтервалі , є многозначною функцією на . Якщо обмежитись дійсними і вимагати , буде визначена однозначна функція .

Властивості

[ред. | ред. код]

Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння

Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w ew:

Використовуючи , отримаємо:

Асимптоти

[ред. | ред. код]

Ряд Тейлора для відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:

Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e. Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e].

Для великих значень x, W0 асимптотична до

де , та не від'ємні числа Стірлінга першого роду. Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:

Інша дійсна гілка, , визначена на інтервалі [−1/e, 0), для визначені наступні обмеження:

.

Застосування

[ред. | ред. код]

...

Узагальнення

[ред. | ред. код]

...

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.