T-функція Оуена

В математиці, T-функція Оуена $T(h,a)$ , названа на честь статистика Дональда Брюса Оуена, визначається формулою

T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).

Вперше функція була представлена Оуеном в 1956 році^[1].

Застосування

Цю функцію можна використовувати для обчислення двовимірних ймовірностей нормального розподілу^[2]^[3], і далі - для обчислення багатовимірних ймовірностей нормального розподілу^[4]. Вона також часто зустрічається в різних інтегралах, в яких використовуються функції Гауса.

Доступні комп’ютерні алгоритми для точного розрахунку цієї функції^[5]; квадратура застосовується з 1970-х років^[6].

T(h,0)=0

T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)

T(-h,a)=T(h,a)

T(h,-a)=-T(h,a)

T(h,a)+T(ah,{\frac {1}{a}})={\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)\quad {\text{if}}\quad a\geq 0

T(h,a)+T(ah,{\frac {1}{a}})={\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}\quad {\text{if}}\quad a<0

T(h,1)={\frac {1}{2}}\Phi (h)\left(1-\Phi (h)\right)

\int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln(1+x^{2})+C

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-t^{2}/2\right)\,\mathrm {d} t

Більше властивостей можна знайти в літературі^[7].

↑ Owen, D B (1956). "Tables for computing bivariate normal probabilities". Annals of Mathematical Statistics, 27, 1075–1090. (англ.)
↑ Sowden, R R and Ashford, J R (1969). "Computation of the bivariate normal integral". Applied Statististics, 18, 169–180. (англ.)
↑ Donelly, T G (1973). "Algorithm 462. Bivariate normal distribution". Commun. Ass. Comput.Mach., 16, 638. (англ.)
↑ Schervish, M H (1984). "Multivariate normal probabilities with error bound". Applied Statistics, 33, 81–94. (англ.)
↑ Patefield, M. and Tandy, D. (2000) "Fast and accurate Calculation of Owen’s T-Function [Архівовано 30 жовтня 2014 у Wayback Machine.]", Journal of Statistical Software, 5 (5), 1–25. (англ.)
↑ JC Young and Christoph Minder. Algorithm AS 76 [Архівовано 5 березня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)
↑ Помилка скрипту: Функції «harvard_core» не існує.

Owen, D. (1980). A table of normal integrals. Communications in Statistics: Simulation and Computation. B9: 389—419. (англ.)

Owen's T function [Архівовано 2 листопада 2020 у Wayback Machine.] (user web site) - offers C++, FORTRAN77, FORTRAN90, and MATLAB libraries released under the LGPL license LGPL
Owen's T-function is implemented in Mathematica since version 8, as OwenT [Архівовано 26 червня 2014 у Wayback Machine.].

Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.