Теорема Фенхеля — Моро

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Функція, яка не напівнеперервна знизу. За теоремою Фенхеля — Моро, ця функція не дорівнює своїй другій спряженій.

Теорема Фенхеля — Моро — необхідна і достатня умова того, що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряженню. При цьому для будь-якої функції вірно, що [1][2].

Твердження можна розглядати як узагальнення теореми про біполяру[en][1]. Її використовують у теорії двоїстості для доведення сильної двоїстості (через функцію збурень[en]).

Для скінченного випадку теорему довів Вернер Фенхель 1949 року і для нескінченновимірного — Жан-Жак Моро[ru] 1960 року[3].

Твердження теореми

[ред. | ред. код]

Нехай  — гаусдорфів локально опуклий простір. Для будь-якої функції зі значеннями на розширеній числовій прямій випливає, що , де  — опукле спряження до тоді й лише тоді, коли виконується одна з таких умов:

  1. є власною опуклою функцією[en] напівнеперервною знизу і опуклою функцією,
  2. , або
  3. [1][4][5].

У геометричному формулюванні теорема стверджує, що необхідною та достатньою умовою того, щоб надграфік функції був перетином надграфіків афінних функцій, є опуклість і замкнутість цієї функції[3].

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б в Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
  2. Zălinescu, 2002, с. 75–79.
  3. а б Тихомиров В. Геометрия выпуклости. — Квант. — 2003. — № 4.
  4. Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
  5. Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.

Література

[ред. | ред. код]
  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — № 6(144). — С. 51–116.
  • Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
  • Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
  • Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
  • Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 103, вип. 1 (May). — DOI:10.2307/2047532.
  • Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вип. 5.