Симетричний многочлен — многочлен від n змінних
, що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен
від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки
![{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\x_{\sigma (1)}&x_{\sigma (2)}&x_{\sigma (3)}&\ldots &x_{\sigma (n)}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b03ae51da23e0edee671e4fa396408110931a0)
справедлива рівність:
![{\displaystyle \ F(x_{1},\dots ,x_{n})=F(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9f9a584fe4e3aacbda553703f343d9ea637b92)
Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри
многочленів від n змінних над кільцем R.
Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:
![{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642d1a32c62b37a39efafd17f4a74b4469a0d69b)
![{\displaystyle 4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}+(x_{1}+x_{2})^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605341b94b8979ba194c02543738d182bd269941)
для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним
![{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608977be4ec96a3eb9399a83139496371c35c9f8)
Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:
![{\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0e0b7d8d6b5692e7bea227d9eaa1e9b95405e3)
Натомість многочлен:
![{\displaystyle x_{1}-x_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f84a58345dcd6b8450aa812bbe0e830443d9363)
не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.
Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:
![{\displaystyle x_{1}^{4}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{4}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366133272c5499b195b1b150b2278174e6fc1e4c)
Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:
Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}x_{j},\\e_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}x_{j}x_{k},\\e_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}x_{j}x_{k}x_{l},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b36bae35fc0d9488ddfb7ff2c62450138980ea5)
і так далі до
![{\displaystyle e_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db24b9ac6f76261b15e0c99d5d10fad23a3b04f2)
Для довільного многочлена можна записати:
![{\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\cdots x_{j_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c4d8728341359f92514afe3e6ae91641c3e6f4)
Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що
Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:
![{\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e98232ae3ff856cbd0e1f176a9661f99501a3ea)
Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dad999103500560a1cecc7648fdb91153c4afce)
Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f90bc8834c5a999e45dd85b53e864f60bf86a9)
Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:
![{\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d9b5631d7fe7f74cc54ea6227e32431497a7b1)
тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{n-d}&=\textstyle (-1)^{d}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{d}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{d}}\\&{}\ \,\vdots \\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60a91bdee67ac99c89f6bf6158e64e03c8528c4)
Фундаментальна теорема про симетричні многочлени
[ред. | ред. код]
Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних
з коефіцієнтами з R.
Для симетричного многочлена
визначимо T = Th як множину усіх
наборів чисел
для яких коефіцієнт
в
не рівний нулю. Визначимо розмір h, як
де
є елементом T для якого
є найбільшим з можливих,
— найбільше з можливих при даному
і т. д. Оскільки
є симетричним, то
якщо і тільки якщо кожна перестановка
належить T. Звідси випливає, що
. З використанням введеного поняття розміру всі елементи
можна впорядкувати: якщо h1 має розмір
і h2 має розмір
тоді h1 > h2 якщо для деякого
виконується
і
Елементи
що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.
Припустимо що
є розміром деякого симетричного многочлена
. Для невід'ємних цілих чисел d1, …, dn, розмір
є рівним
. Взявши
одержуємо, що розмір h рівний
. Коефіцієнт при
в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент
такий, що g − ah має менший розмір ніж g.
Як наслідок для довільного симетричного
існують
і
такі, що
має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.