Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Пентація (гіпер-5 ) — ітераційна операція тетрації ; подібно до того як тетрація є операцією ітераційного піднесення до степеня . Застосовується для опису великих чисел.
Термін пентація , складається зі слів пента- (п'ять) та ітерація , був уперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році.
Пентація може бути записана як гіпероператор
a
[
5
]
b
{\displaystyle a[5]b}
нотації Кнута як
a
↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑
3
b
{\displaystyle a\uparrow ^{3}b}
нотації Конвея як
a
→
b
→
3
{\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow 3}
Пентація як гіпероператор 5 [ ред. | ред. код ] Пентація є п'ятою по рахунку гіпероперацією.
додавання :
a
+
n
=
a
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
n
{\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}
множення :
a
×
n
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
n
{\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}
піднесення до степеня :
a
n
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
n
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}
тетрація :
n
a
=
a
a
⋅
⋅
a
⏟
n
{\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}
пентація:
n
a
=
a
⋅
⋅
a
a
⏟
n
{\displaystyle {_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}}
Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.
Результат пентації можна отримати з четвертого стовпця таблиці значень функції Акермана : якщо
A
(
n
,
m
)
{\displaystyle A(n,m)}
A
(
m
−
1
,
A
(
m
,
n
−
1
)
)
{\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}
A
(
1
,
n
)
=
a
n
{\displaystyle A(1,n)=an}
A
(
m
,
1
)
=
a
{\displaystyle A(m,1)=a}
a
↑↑↑
b
=
A
(
4
,
b
)
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=A(4,b)}
1
↑
3
b
=
1
{\displaystyle 1\uparrow ^{3}b=1}
a
↑
3
1
=
a
{\displaystyle a\uparrow ^{3}1=a}
Додатково можна визначити:
a
↑
3
0
=
1
{\displaystyle a\uparrow ^{3}0=1}
a
↑
3
−
1
=
0
{\displaystyle a\uparrow ^{3}-1=0}
Для невеликих натуральних чисел:
2
↑
3
2
=
2
2
=
2
2
=
4
{\displaystyle 2\uparrow ^{3}2={^{2}2}=2^{2}=4}
2
↑
3
3
=
2
2
2
=
4
2
=
2
2
2
2
=
2
2
4
=
2
16
=
65
,
536
{\displaystyle 2\uparrow ^{3}3={^{^{2}2}2}={^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}
2
↑
3
4
=
2
2
2
2
=
65
,
536
2
=
2
2
2
⋅
⋅
⋅
2
(a power tower of height 65,536)
≈
exp
10
65
,
533
(
4.29508
)
{\displaystyle 2\uparrow ^{3}4={^{^{^{2}2}2}2}={^{65,536}2}=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}
3
↑
3
2
=
3
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3\uparrow ^{3}2={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
3
↑
3
3
=
3
3
3
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
3
=
3
3
3
⋅
⋅
⋅
3
(a power tower of height 7,625,597,484,987)
≈
exp
10
7
,
625
,
597
,
484
,
986
(
1.09902
)
{\displaystyle 3\uparrow ^{3}3={^{^{3}3}3}={^{7,625,597,484,987}3}=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}
4
↑
3
2
=
4
4
=
4
4
4
4
=
4
4
256
≈
exp
10
3
(
2.19
)
{\displaystyle 4\uparrow ^{3}2={^{4}4}=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}
5
↑
3
2
=
5
5
=
5
5
5
5
5
=
5
5
5
3125
≈
exp
10
4
(
3.33928
)
{\displaystyle 5\uparrow ^{3}2={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}
Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12: 123–129, MR 0022537 Приклади чисел в
Нотації
Функції
Статті за темою
![{\displaystyle a[5]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
