Обернена теорема Фур'є

У математиці обернена теорема Фур'є стверджує, що багато типів функцій можливо відновити, використовуючи їх перетворення Фур'є. Інтуїтивно це твердження можна зрозуміти так: якщо відома частота та фаза коливань хвилі, то можливо відновити початковий стан цієї хвилі.

Теорема стверджує, якщо функція $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ задовольняє певні умови, то з перетворення Фур'є функції $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$

$({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y$

випливає, що

$f(x)=\int _{\mathbb {R} }{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,{\rm {d}}\xi .$

Іншими словами, теорема стверджує, що

$f(x)=\iint _{{\mathbb {R} }^{2}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}(x-y)\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}\xi .$

Останню рівність називають інтегральною теоремою Фур'є.

Інше формулювання теореми полягає у тому, що якщо $R$ — фліп-оператор, тобто $(Rf)(x):=f(-x)$, то

${\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.$

Теорема виконується для тих функцій $f$ та їх перетворень Фур'є, які є абсолютно інтегровними (за Лебегом), і функцій $f$ неперервних у точці $x$. Однак, навіть за більш загальних умов обернена теорема Фур'є має місце. У цих випадках інтеграли, вказані вище, можуть не збігатися у звичайному сенсі.

Твердження

Нехай $f$ — інтегровна неперервна функція. Використовуємо наступне позначення для перетворень Фур'є:

$({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y.$

Більше того, вважаємо, що перетворення Фур'є також є інтегровним.

Обернене перетворення Фур'є як інтергал

Найбільш поширеним формулюванням оберненої теореми Фур'є є твердження про обернене перетворення як інтеграл. Нехай для будь-якої інтегровної функції $g$ та довільного $x\in \mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {F}}^{-1}g(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }g(\xi )\,{\rm {d}}\xi ,$

тоді для довільного $x\in \mathbb {R} ^{n}$ маємо, що

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Інтегральна теорема Фур'є

Теорему можна переформулювати як

$f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}(x-y)\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}\xi .$

Якщо $f$ — дійснозначна функція, то, прирівнявши дійсні частини рівності, отримуємо

$f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )f(y)\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}\xi .$

Обернене перетворення як фліп-оператор

Для довільної функції $g$ визначимо фліп-оператор $R$ такий, що $Rg(x):=g(-x)$. Тоді можна визначити

${\mathcal {F}}^{-1}f=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.$

Ця формула одразу випливає із означення перетворення Фур'є та фліп-оператора $R$. Перетворення ${\mathcal {F}}Rf$ та $R{\mathcal {F}}f$ відповідають перетворенню ${\mathcal {F}}^{-1}f$, дорівнюють одне одному та задовольняють рівність

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Оскільки $Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {F}}{\mathcal {F}}f$, то $R={\mathcal {F}}^{2}$ і ${\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}$.

Двостороння оборотність

Вище викладене типове формулювання теореми має вигляд

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Іншими словами, ${\mathcal {F}}^{-1}$ є лівим оберненим оператором для перетворення Фур'є. Водночас він також є правим оберненим оператором для перетворення Фур'є, тобто

${\mathcal {F}}\left({\mathcal {F}}^{-1}f\right)(\xi )=f(\xi ).$

Оскільки оператор ${\mathcal {F}}^{-1}$ — подібний до оператора ${\mathcal {F}}$, то попередня рівність випливає з оберненої теореми Фур'є (за допомогою заміни змінних $\xi =-\zeta$)

${\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}\xi =\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}x\cdot \zeta }{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}y\cdot \zeta }f(y)\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}\zeta =={\mathcal {F}}\left({\mathcal {F}}^{-1}f\right)(x).\end{aligned}}$

З іншого боку, це випливає з відношення між оператором ${\mathcal {F}}^{-1}$ та фліп-оператором $R$, та асоціативності композиції функцій, оскільки

$f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}\left({\mathcal {F}}^{-1}f\right).$

Умови на функцію

Використовуючи обернену теорему Фур'є у фізиці та інженерії, часто припускають, що все "відбувається добре". У математиці подібні евристичні міркування не дозволяються, а обернена теорема Фур'є передбачає специфікацію класів функцій, для яких виконуються умови теореми. Однак не існує "найкращого" класу функцій для розгляду, тому існує кілька варіантів формулювання оберненої теореми Фур'є, хоч і з подібними висновками.

Функції Шварца

Обернена теорема Фур'є виконується для всіх функцій Шварца (грубо кажучи, всіх швидко спадних гладких функцій, всі похідні яких теж є швидко спадними). Ця умова має перевагу в тому, що вона стосується лише функції (без накладання умови на її перетворення Фур'є), а інтеграл, що визначає її перетворення Фур'є, та інтеграл, що визначає обернене перетворення Фур'є, є абсолютно інтегровними. Це формулювання використовується для доведення оберненої теореми Фур'є для узагальнених функцій.

Інтегровні функції з інтегровними перетвореннями Фур'є

Обернена теорема Фур'є виконується для всіх неперервних абсолютно інтегровних функцій (тобто функцій з $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$) з абсолютно інтегровними перетвореннями Фур'є. Вони включають у себе всі функції Шварца, тому це більш строге формулювання теореми, ніж наведене вище. Ця умова використовується вище, у пункті твердження.

Можливий варіант — опустити умову про неперервність функції $f$, але все одно вимагати абсолютну інтегровність функції та її перетворення Фур'є. Тоді $f=g$ майже скрізь, де $g$ — неперервна функція і ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)$ для довільного $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Інтегровні функції від однієї змінної

Кускова гладкість, одна змінна

Якщо функція від однієї змінної абсолютно інтегровна (тобто $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$) та кусково-гладка, то тоді має місце версія оберненої теореми Фур'є. У цьому випадку визначаємо

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }g(\xi )\,{\rm {d}}\xi .$

Тоді для довільного $x\in \mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),$

тобто, ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)$ дорівнює середньому арифметичному лівосторонньої та правосторонньої границь функції $f$ у точці $x$. У точках, де функція $f$ — неперервна, ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)=f(x)$.

Для більшої кількості змінних дане формулювання теореми також має місце, але, за словами Фолланда (1992), є "досить делікатним і не дуже корисним".

Кускова неперервність, одна змінна

Якщо функція від однієї змінної абсолютно інтегровна (тобто $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$) та кусково-неперервна, то тоді все ще має місце версія оберненої теореми Фур'є. У цьому випадку інтеграл оберненого перетворення Фур'є визначається за допомогою більш гладкої, ніж розривної, функції відтинання. Більш точно,

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }{\int _{\mathbb {R} }\varphi \left({\frac {\xi }{R}}\right){\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }g(\xi )\,{\rm {d}}\xi },\quad \varphi (\xi ):={\rm {e}}^{-\xi ^{2}}.$

Висновок теореми такий же, як і для кусково-гладких функцій від однієї змінної, що наведений вище.

Неперервність, випадок багатьох змінних

Якщо функція $f$ — неперервна та абсолютно інтегровна на $\mathbb {R} ^{n}$, то обернена теорема Фур'є має місце доти, поки можна визначити обернене перетворення з гладкою функцією відтинання, тобто

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }{\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi \left({\frac {\xi }{R}}\right){\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }g(\xi )\,{\rm {d}}\xi },\quad \varphi (\xi ):={\rm {e}}^{-|{\xi }|^{2}}.$

Висновок тепер простіший, для довільного $x\in \mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Без умов регулярності, випадок багатьох змінних

Якщо відкинути всі припущення про (часткову) неперервність функції $f$ та припустити, що функція лише абсолютно інтегровна, то тоді все ще має місце версія оберненої теореми Фур'є. Обернене перетворення знову визначається за допомогою гладкої функції відтинання, але у результаті отримаємо, що

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)$

для майже всіх $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Квадратично інтегровні функції

У цьому випадку перетворення Фур'є не можна безпосередньо визначити як інтеграл, так як він може не бути абсолютно збіжним, тому воно визначається у термінах щільності (див. перетворення Фур'є). Наприклад, поклавши

$g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon |y|\leq k\}}{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot \xi }g(y)\,{\rm {d}}y,\quad k\in \mathbb {N} ,$

маємо, що ${\mathcal {F}}f:=\lim \limits _{k\to \infty }g_{k}$, де границя береться у нормі простору $L^{2}$. Обернене перетворення також можна визначити через щільність, або через перетворення Фур'є та фліп-оператор $R$. Тоді маємо

$f(x)={\mathcal {F}}\left({\mathcal {F}}^{-1}f\right)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)$

у середньоквадратичній нормі. Для функцій однієї змінної (і лише однієї змінної) можна довести збіжність для майже всіх $x\in \mathbb {R}$. Це твердження є теоремою Карлесона, її набагато важче довести, ніж збіжність у середньоквадратичній нормі.

Узагальнені функції

Перетворення Фур'є можна визначити на просторі узагальнених функцій $S'(\mathbb {R} ^{n})$ завдяки дуальності перетворень Фур'є на просторі функцій Шварца. Конкретніше, для функції $f\in S'(\mathbb {R} ^{n})$ та всіх тестових функцій $\varphi \in S(\mathbb {R} ^{n})$ покладемо

$\langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,$

де ${\mathcal {F}}f$ визначається за допомогою інтегральної формули. Якщо $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\bigcap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, то це узгоджується із звичайним означенням. Можна визначити обернене перетворення ${\mathcal {F}}^{-1}\colon S'(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow S'(\mathbb {R} ^{n})$ або аналогічно через дуальність оберненого перетворення на просторі функцій Шварца, або через фліп-оператор $R$ (де фліп-оператор визначається за допомогою дуальності). Тоді маємо

${\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{S'(\mathbb {R} ^{n})}.$

Зв'язок з рядами Фур'є

Обернена теорема Фур'є — аналог збіжності рядів Фур'є. У випадку перетворення Фур'є маємо

${\begin{aligned}&f\colon \ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\\&{\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y,\\&f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }{\hat {f}}(\xi )\,{\rm {d}}\xi .\end{aligned}}$

Замість цього, у випадку рядів Фур'є маємо

${\begin{aligned}&f\colon \ [0,1]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\\&{\hat {f}}(k):=\int _{{[0,1]}^{n}}{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot k}f(y)\,{\rm {d}}y,\\&f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot k}{\hat {f}}(k).\end{aligned}}$

Зокрема, в одновимірному випадку $k\in \mathbb {Z}$ і підсумовування відбувається від $-\infty$ до $+\infty$.

Застосування

Деякі задачі, зокрема і деякі види диференціальних рівнянь, простіше розв'язати, застосувавши перетворення Фур'є. У цьому випадку розв'язок початкової задачі відновлюється за допомогою оберненого перетворення Фур'є.

У застосуваннях перетворень Фур'є обернена теорема Фур'є часто відіграє істотну роль. У багатьох випадках загальний алгоритм такий: використати перетворення Фур'є, виконати певні перетворення або спрощення, а потім використати обернене перетворення Фур'є.

Більш абстрактно, обернена теорема Фур'є — це твердження про перетворення Фур'є як оператор (див. перетворення Фур'є на функціональних просторах). Наприклад, обернена теорема Фур'є для функцій $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ стверджує, що перетворення Фур'є є унітарним оператором на просторі $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$.

Властивості оберненого перетворення

Обернене перетворення Фур'є дуже подібне до звичайного перетворення Фур'є: як обговорювалося вище вони відрізняються лише застосуванням фліп-оператора. Тому властивості перетворення Фур'є зберігаються і для оберненого перетворення Фур'є, наприклад, теорема про згортку і лема Рімана—Лебега.

Таблиці перетворень Фур'є можна легко використати для оберненого перетворення Фур'є, за допомогою композиції шуканої функції та фліп-оператора $R$. Наприклад, дивлячись на перетворення Фур'є для прямокутної функції, маємо

$f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right),$

тому відповідне обернене перетворення має вигляд

$g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad \left({\mathcal {F}}^{-1}g\right)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right).$

Доведення

Для доведення використовується декілька властивостей з використанням функції $f(y)$ та ${\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}y\cdot \xi }f(y)\,{\rm {d}}y$:

1. Якщо $x\in \mathbb {R} ^{n}$ та $g(\xi )={\rm {e}}^{-2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }\psi (x)$, то $({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x).$
2. Якщо $\varepsilon \in \mathbb {R}$ та $\psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )$, то $({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi ){\frac {({\frac {y}{\varepsilon }})}{|\varepsilon |}}.$
3. Для функцій $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ з теореми Фубіні випливає, що $\int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,{\rm {d}}\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,{\rm {d}}y.$
4. Нехай $\varphi (\xi )={\rm {e^{-\pi (|\xi |)^{2}}}}$, тоді $({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)$.
5. Нехай $\varphi _{\varepsilon }(y)={\dfrac {\varphi ({\frac {y}{\varepsilon }})}{\varepsilon ^{n}}}$.

Символом $*$ позначимо згортку функцій, $\varphi _{\varepsilon }$ — згладжувальний оператор: для будь-якої неперервної функції $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ та точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ має місце рівність $\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)}=f(x)$ (де збіжність є поточковою).

Оскільки, за припущенням, ${\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, то з теореми Лебега про мажоровану збіжність випливає, що

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,{\rm {d}}\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,{\rm {d}}\xi .$

Нехай $g_{x}(\xi )={\rm {e}}^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }$. Використовуючи властивості 1, 2 та 4, за необхідності повторно для кратних інтегралів, отримаємо

$({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).$

Використовуючи властивість 3 для функцій $f$ та $g_{x}$, для довільного $x\in \mathbb {R} ^{n}$ маємо

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,{\rm {d}}\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,{\rm {d}}y=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),$

або згортку функції $f$ та згладжувального оператора. Але оскільки $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, то з властивості 5 випливає, що

$\lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).$

Збираючи все разом, отримаємо, що

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,{\rm {d}}\xi =f(x).$

Література

• Folland, G. B. (1992). Fourier Analysis and its Applications. Belmont, CA, USA: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3.
• Folland, G. B. (1995). Introduction to Partial Differential Equations (вид. 2nd). Princeton, USA: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0-691-04361-6.