Нерівність Гарнака — нерівність, що оцінює значення у двох близьких точках додатної гармонічної функції . Названа на честь німецького математика Акселя Гарнака. Нерівність Гарнака є досить сильним результатом з якого, зокрема, випливають: сильний принцип максимуму, теорема Гарнака про послідовності гармонічних функцій теореми про компактності сімейств гармонічих функцій, теорема Ліувіля .
Нехай f - функція визначена у кулі в R n з радіусом R і центром в точці x 0 . Якщо f є неперервною в замиканні кулі і гармонійною у відкритій кулі, тоді для кожної точки x для якої |x − x 0 | = r < R ,
1
−
(
r
/
R
)
[
1
+
(
r
/
R
)
]
n
−
1
f
(
x
0
)
⩽
f
(
x
)
⩽
1
+
(
r
/
R
)
[
1
−
(
r
/
R
)
]
n
−
1
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leqslant f(x)\leqslant {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}
У випадку R 2 (n = 2) нерівність можна записати:
R
−
r
R
+
r
f
(
x
0
)
⩽
f
(
x
)
⩽
R
+
r
R
−
r
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leqslant f(x)\leqslant {R+r \over R-r}f(x_{0}).}
Для загальних областей
Ω
{\displaystyle \Omega }
в
R
n
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
нерівність можна подати в такому виді: якщо
ω
{\displaystyle \omega }
є обмеженою областю для якої
ω
¯
⊂
Ω
{\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }
, тоді є константа
C
{\displaystyle C}
така що
sup
x
∈
ω
u
(
x
)
⩽
C
inf
x
∈
ω
⩽
μ
2
(
τ
−
t
)
,
τ
−
ν
2
⩽
t
⩽
τ
u
(
x
)
{\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leqslant C\inf _{x\in \omega }\leqslant \mu ^{2}(\tau -t),\tau -\nu ^{2}\leqslant t\leqslant \tau u(x)}
для кожної двічі диференційовної, гармонічної і невід'ємної функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
. Константа
C
{\displaystyle C}
не залежить від
u
{\displaystyle u}
, а лише від областей
Ω
{\displaystyle \Omega }
і
ω
{\displaystyle \omega }
.
Згідно інтегральної формули Пуассона
f
(
x
)
=
1
ω
n
−
1
∫
|
y
−
x
0
|
=
R
R
2
−
r
2
R
|
x
−
y
|
n
⋅
f
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}
де ω n − 1 позначає площу сфери радіуса 1 в R n і r = |x − x 0 |.
Оскільки
R
−
r
⩽
|
x
−
y
|
⩽
R
+
r
,
{\displaystyle R-r\leqslant |x-y|\leqslant R+r,}
для виразу під інтегралом виконуються нерівності
R
−
r
R
(
R
+
r
)
n
−
1
⩽
R
2
−
r
2
R
|
x
−
y
|
n
⩽
R
+
r
R
(
R
−
r
)
n
−
1
.
{\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leqslant {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leqslant {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}
Підставивши ці нерівності в інтеграл вище і враховуючи, що середнє значення гармонічної функції на сфері рівне значенню функції в центрі сфери:
f
(
x
0
)
=
1
R
n
−
1
ω
n
−
1
∫
|
y
−
x
0
|
=
R
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy}
одержуємо нерівність Гарнака.
Нерівність Гарнака узагальнюється на невід'ємні розв'язки широкого класу лінійних еліптичних рівнянь виду
L
u
=
−
∑
i
,
j
=
1
n
∂
∂
x
i
(
a
i
j
(
x
)
∂
u
∂
x
j
)
+
∑
i
=
1
n
b
i
(
x
)
∂
u
∂
x
i
+
c
(
x
)
u
{\displaystyle {\mathcal {L}}u=-\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(a_{ij}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u}
з рівномірно додатно означеною матрицею
A
=
(
a
i
,
j
)
n
×
n
{\displaystyle \ A=(a_{i,j})_{n\times n}}
λ
∑
i
=
1
n
ξ
i
2
⩽
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
(
x
)
ξ
i
ξ
j
⩽
Λ
∑
i
=
1
n
ξ
i
2
{\displaystyle \lambda \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\leqslant \Lambda \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}}
де
Λ
>
λ
>
0
{\displaystyle \Lambda >\lambda >0}
— числа,
ξ
=
(
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
)
{\displaystyle \xi =(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n})}
— будь-який n-вимірний вектор,
x
∈
Ω
{\displaystyle x\in \Omega }
. При цьому стала C нерівності Гарнака залежить тільки від
Λ
,
λ
{\displaystyle \Lambda ,\lambda }
, деяких норм молодших коефіцієнтів оператора
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
і відстані між границями
Ω
{\displaystyle \Omega }
і
ω
{\displaystyle \omega }
.
Для невід'ємних розв'язків
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
рівномірно параболічних рівнянь виду
L
u
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
(
t
,
x
)
∂
2
u
∂
x
i
∂
x
j
+
∑
i
=
1
n
b
i
(
t
,
x
)
∂
u
∂
x
i
+
c
(
t
,
x
)
u
{\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}
теж існує аналог нерівності Гарнака. Тут коефіцієнти матриці
(
a
i
,
j
)
n
×
n
{\displaystyle \ (a_{i,j})_{n\times n}}
задовольняють ті ж умови, що й вище.
У цьому випадку можлива тільки одностороння нерівність
u
(
x
,
t
)
⩽
C
u
(
y
,
τ
)
{\displaystyle u(x,t)\leqslant Cu(y,\tau )}
для точок
(
x
,
t
)
{\displaystyle (x,t)}
, що лежать всередині параболоїда
{
(
x
,
t
)
:
|
x
−
y
|
2
⩽
μ
2
(
τ
−
t
)
,
τ
−
ν
2
⩽
t
⩽
τ
}
{\displaystyle \left\{(x,t):|x-y|^{2}\leqslant \mu ^{2}(\tau -t),\;\tau -\nu ^{2}\leqslant t\leqslant \tau \right\}}
з вершиною в точці
(
y
,
τ
)
{\displaystyle (y,\tau )}
.
При цьому
C
{\displaystyle C}
залежить від величин
y
,
τ
,
Λ
,
λ
,
μ
,
ν
,
{\displaystyle y,\tau ,\Lambda ,\lambda ,\mu ,\nu ,}
деяких норм молодших коефіцієнтів оператора
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
і від відстаней між границею параболоїда і границею області, в якій
u
(
x
,
t
)
⩾
0.
{\displaystyle u(x,t)\geqslant 0.}
Якщо, наприклад,
u
(
x
,
t
)
⩾
0
{\displaystyle u(x,t)\geqslant 0}
в циліндрі
Q
=
(
a
,
b
]
×
Ω
,
ω
⊂
Ω
{\displaystyle Q=(a,b]\times \Omega ,\;\omega \subset \Omega }
відстань між
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
і
∂
ω
{\displaystyle \partial \omega }
є більшою або рівною d > 0 і d є достатньо малим, то в
(
a
−
d
2
,
b
]
×
ω
{\displaystyle (a-d^{2},b]\times \omega }
виконується нерівність:
ln
u
(
x
,
t
)
u
(
y
,
τ
)
⩽
C
(
|
x
−
y
|
2
τ
−
t
+
τ
−
t
d
2
+
1
)
.
{\displaystyle \ln {\frac {u(x,t)}{u(y,\tau )}}\leqslant C\left({\frac {|x-y|^{2}}{\tau -t}}+{\frac {\tau -t}{d^{2}}}+1\right).}
Зокрема, якщо
u
(
x
,
t
)
⩾
0
{\displaystyle u(x,t)\geqslant 0}
в
Q
{\displaystyle Q}
і компакти
Q
1
,
Q
2
{\displaystyle Q_{1},Q_{2}}
вкладені в
Q
{\displaystyle Q}
, і до того ж:
δ
=
min
(
x
,
t
)
∈
Q
1
,
(
y
,
τ
)
∈
Q
2
(
t
−
τ
>
0
)
{\displaystyle \delta =\min _{(x,t)\in Q_{1},(y,\tau )\in Q_{2}}(t-\tau >0)}
то
max
(
x
,
t
)
∈
Q
2
u
(
x
,
t
)
⩽
C
max
(
x
,
t
)
∈
Q
1
u
(
x
,
t
)
,
{\displaystyle \max _{(x,t)\in Q_{2}}u(x,t)\leqslant C\max _{(x,t)\in Q_{1}}u(x,t),}
де
C
=
C
(
δ
,
Q
,
Q
1
,
Q
2
,
L
)
.
{\displaystyle C=C(\delta ,Q,Q_{1},Q_{2},{\mathcal {L}}).}
Приклад функції
u
(
x
,
t
)
=
exp
(
∑
i
=
1
n
k
i
x
i
+
t
∑
i
=
1
n
k
i
2
)
{\displaystyle u(x,t)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x_{i}+t\sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}\right)}
що є розв'язком рівняння теплопровідності
u
t
−
Δ
u
=
0
{\displaystyle u_{t}-\Delta u=0}
при будь-яких
k
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
n
{\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}}
показує неможливість в параболічному випадку двосторонніх оцінок.
Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene , Leipzig: V. G. Teubner
John, Fritz (1982), Partial differential equations , Applied Mathematical Sciences, т. 1 (вид. 4th), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
Moser, Jürgen (1961), On Harnack's theorem for elliptic differential equations, Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 577—591, doi :10.1002/cpa.3160140329 , MR 0159138
Moser, Jürgen (1964), A Harnack inequality for parabolic differential equations, Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101—134, doi :10.1002/cpa.3160170106 , MR 0159139
Serrin, James (1955), On the Harnack inequality for linear elliptic equations, Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292—308, doi :10.1007/BF02787725 , MR 0081415