Лінійний простір (геометрія)

Лінійний простір — це базова структура геометрії інцидентності. Лінійний простір складається з множини елементів, званих точками, і множини елементів, званих прямими. Всі прямі є різними підмножинами точок. Кажуть, що точки прямої інцидентні прямій. Будь-які дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки. Інтуїтивно це правило можна продемонструвати як дві прямі на евклідовій площині, які ніколи не перетинаються більш ніж в одній точці.

(Скінченні) лінійні простори можна розглядати як узагальнення проєктивної та афінної площини, і в ширшому значенні, як 2-$(v,k,1)$-блок-схеми, для яких потрібно, щоб кожен блок містив однакову кількість точок і суттєвою структурною характеристикою є те, що дві точки інцидентні рівно одній прямій.

Термін лінійний простір увів 1964 року Поль Лібуа, хоча багато результатів щодо лінійних просторів значно давніші.

Визначення

Нехай $L=(P,G,I)$ — структура інцидентності, для якої елементи P називають точками, а елементи G називають прямими. L є лінійним простором, якщо виконуються такі три аксіоми:

• (L1) Дві точки інцидентні рівно одній прямій.
• (L2) Будь-яка пряма інцидентна принаймні двом точкам.
• (L3) L містить принаймні дві прямі.

Деякі автори опускають (L3) стосовно лінійних просторів. У цьому випадку лінійні простори, що дотримуються (L3), вважають нетривіальними, а ті, що не дотримуються, — тривіальними.

Приклади

Звичайна евклідова площина з її точками та прямими утворює лінійний простір, більш того, всі афінні та проєктивні простори є лінійними просторами.

Таблиця нижче показує всі можливі нетривіальні простори з п'яти точок. Оскільки будь-які дві точки завжди інцидентні одній прямій, прямі, інцидентні лише двом точкам, не показано. Тривіальний випадок — пряма через п'ять точок.

У першому прикладі десять прямих, що з'єднують десять пар точок, не намальовано. На другій ілюстрації не намальовано сім прямих, що з'єднують сім пар точок.

10 прямих	8 прямих	6 прямих	5 прямих

Лінійний простір з n точок, що містить пряму, інцидентну n − 1 точкам, називають майже пучком. (Див. «Пучок»)

Майже пучок із 10 точками

Властивості

Теорема де Брейна — Ердеша показує, що в будь-якому скінченному лінійному просторі $S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{\textbf {I}})$, яка не є окремою точкою чи окремою прямою, маємо $|{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}|$.

Див. також

• Блок-схема (математика)
• Площина Фано
• Молекулярна геометрія
• Частково лінійний простір

Література

• Ernest E. Shult. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext) — ISBN 978-3-642-15626-7. — DOI:10.1007/978-3-642-15627-4.

• Albrecht Beutelspacher. Einführung in die endliche Geometrie II. — Bibliographisches Institut, 1983. — С. 159. — ISBN 3-411-01648-5.
• J. H. van Lint, R. M. Wilson. A Course in Combinatorics. — Cambridge University Press, 1992. — С. 188. — ISBN 0-521-42260-4.
• L. M. Batten, Albrecht Beutelspacher. The Theory of Finite Linear Spaces. — Cambridge : Cambridge University Press, 1992.