Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Логіка Лукашевича — багатозначна логіка , як спочатку була визначена Яном Лукашевичем як тризначна логіка , а потім узагальнена до скінченної n -значної логіки, та до нескінченної дійснозначної логіки як для числення висловлень та логіки першого порядку .
Операціями логіки Лукашевича є:
імплікація
→
{\displaystyle \rightarrow }
заперечення
¬
{\displaystyle \neg }
еквівалентність
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
слаба кон'юнкція
∧
{\displaystyle \wedge }
сильна кон'юнкція
⊗
{\displaystyle \otimes }
слаба диз'юнкція
∨
{\displaystyle \vee }
сильна диз'юнкція
⊕
{\displaystyle \oplus }
та константи
0
¯
{\displaystyle {\overline {0}}}
та
1
¯
{\displaystyle {\overline {1}}}
.
Наявність слабої та сильної кон'юнкції та диз'юнкції є загальною рисою всіх підструктурних логік без правила скорочення, до яких належить логіка Лукашевича.
Початкова система аксіом для нескінченно-значної логіки висловлень Лукашевича використовувала імплікацію та заперечення як основні логічні операції:
A
→
(
B
→
A
)
{\displaystyle ~A\rightarrow (B\rightarrow A)}
(
A
→
B
)
→
(
(
B
→
C
)
→
(
A
→
C
)
)
{\displaystyle ~(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))}
(
(
A
→
B
)
→
B
)
→
(
(
B
→
A
)
→
A
)
{\displaystyle ~((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}
(
¬
B
→
¬
A
)
→
(
A
→
B
)
.
{\displaystyle ~(\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).}
У дійснозначній логіці Лукашевича логічними значеннями є дійсні числа від 0 до 1. Операції визначаються як функції:
Імплікація:
F
→
(
x
,
y
)
=
min
{
1
,
1
−
x
+
y
}
{\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}
Еквівалентність:
F
↔
(
x
,
y
)
=
1
−
|
x
−
y
|
{\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}
Заперечення:
F
¬
(
x
)
=
1
−
x
{\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}
Слабка кон'юнкція:
F
∧
(
x
,
y
)
=
min
{
x
,
y
}
{\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}
Слабка диз'юнкція:
F
∨
(
x
,
y
)
=
max
{
x
,
y
}
{\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}
Сильна кон'юнкція:
F
⊗
(
x
,
y
)
=
max
{
0
,
x
+
y
−
1
}
{\displaystyle F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}
Сильна диз'юнкція:
F
⊕
(
x
,
y
)
=
min
{
1
,
x
+
y
}
.
{\displaystyle F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.}