Кватерніонна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці кватерніонною алгеброю над полем F називається центральна проста алгебра A над F розмірність якої є рівною 4.

Еквівалентні означення

[ред. | ред. код]

Пряма побудова

[ред. | ред. код]

Коли F має характеристику не рівну 2, кожну кватерніонну алгебру над F можна описати як 4-вимірний векторний простір над F із базисом і таблицею множення для базисних елементів:

де a і b є деякими ненульовими елементами поля F. Із цих рівностей також випливає:

Для позначення кватерніонної алгебри із вказаною таблицею множення використовується позначення (a,b)F або просто (a,b).[1]

Коли поле F має характеристику 2 таблиця множення базових елементів має трохи інший вигляд:

У будь-якому випадку кватерніонна алгебра над F задана цими співвідношеннями є центральною простою алгеброю розмірності 4 над F і навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є кватерніонною алгеброю заданою якимось із співвідношень (в залежності від характеристики).

Для елемента кватерніонної алгебри над полем характеристика якого не є рівною 2 його спряжений елемент задається як

Для кватерніонної алгебри нормою називається відображення:

Еквівалентно

Побудова за допомогою етальних квадратичних алгебр

[ред. | ред. код]

Для полів довільної характеристики кватерніонну алгебру можна побудувати за допомогою етальних квадратичних алгебр, з використанням побудови Келі — Діксона.

Якщо C є етальною квадратичною алгеброю над F (тобто алгеброю ізоморфною або квадратичному сепарабельному розширенню поля F), то існує єдиний автоморфізм J алгебри C, що відрізняється від одиничного і називається спряженням.

Конкретно можна взяти де задовольняє рівнянню Спряження у цьому випадку задається як Якщо многочлен не має коренів у F, то C є сепарабельним квадратичним розширенням поля F. Якщо цей многочлен має корені у F, то C є ізоморфною Наприклад для многочлен має корені у F і ізоморфізм між і задається через співвідношення і Таким чином кожна етальна квадратична алгебра C має вигляд

Якщо a є ненульовим елементом F то на F-векторному просторі можна ввести множення (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x). Із цією операцією Q є кватерніонною алгеброю над F, яку позначають як (C, b)F. Навпаки кожна кватерніонна алгебра над F може бути отримана у описаний спосіб.

Наприклад для поле комплексних чисел є етальною квадратичною алгеброю і для a = –1, алгебра Q є ізоморфною звичайним кватерніонам.

За допомогою сепарабельних квадратичних розширень

[ред. | ред. код]

Нехай F — поле довільної характеристики і L — його квадратичне сепарабельне розширення і Нехай J позначає єдиний неодиничний F-автоморфізм поля L.

Тоді алгебра L + L u, де і для кожного також є кватерніонною алгеброю над F і кожна кватерніонна алгебра одержується в такий спосіб.

Для елементів a + bu і c + du добуток є рівним

Спряження на кватерніонній алгебрі є лінійним продовженням J на L і J(u) = -u.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Класичні кватерніони є кватерніонною алгеброю над . У цьому випадку (a = b = −1)
  • Для спліт-кватерніонів (a = −1, b = +1). Для спліт-кватерніонів також і . Спліт-кватерніони є ізоморфними алгебрі квадратних дійсних матриць порядку 2.
  • Звичайні кватерніони і спліт-кватерніони є єдиними прикладами кватерніонних алгебр над полем дійсних чисел. Всі інші є ізоморфними одній із цих алгебр.
  • Алгебра квадратних матриць порядку 2 з елементами з поля F є кватерніонною алгеброю над полем F. Якщо F є скінченним полем,алгебрично замкнутим полем (наприклад ) чи навіть сепарабельно замкнутим полем то ця алгебра є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Властивості

[ред. | ред. код]

Всюди нижче F є полем характеристика якого не є рівною 2.

  • Кватерніонні алгебри (a,b)F і (b,a)F є ізоморфними.
  • Кватерніонна алгебра (a,b)F є або алгеброю з діленням або ізоморфною алгебрі 2×2 матриць над F: у другому випадку кажуть, що алгебра розщеплюється.[2]
  • Кожна кватерніонна алгебра стає алгеброю матриць після розширення скалярів, тобто для деякого розширення K поля F, є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над K.
  • Елемент q кватерніонної алгебри (a,b)F є оборотним тоді і тільки, коли його норма не дорівнює нулю. Як наслідок кватерніонна алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо її норма є рівною нулю лише для нульового елемента.
  • Кватерніонна алгебра (a,b)F розщеплюється якщо і тільки якщо b є рівним нормі деякого елемента у квадратичному розширенні поля F.
  • Нехай A — деяка кватерніонна алгебра над полем F і Тоді A є ізоморфною кватерніонній алгебрі (a,b)F для деякого тоді і тільки тоді коли -алгебра розщеплюється і тоді і тільки тоді коли A містить підполе ізоморфне .
  • Нехай — кватерніонна алгебра. Тоді для алгебра є ізоморфною і для кожного такого ізоморфізму для норми виконується рівність
  • Коніка C(a,b) задана як
має точку (x,y,z) з координатами у полі F для алгебр, що розщеплюються і тільки для них.[3]

Застосування

[ред. | ред. код]

Кватерніонні алгебри застосовуються у теорії чисел, зокрема при вивченні квадратичних форм. Вони зокрема визначають елементи порядку 2 у групі Брауера поля F. Для деяких полів, наприклад алгебричних числових полів, кожен елемент порядку 2 у групі Брауера є класом еквівалентності кватерніонної алгебри.

Згідно теореми Меркур'єва кожен елемент порядку 2 у групі Брауера довільного поля є класом еквівалентності тензорного добутку кватерніонних алгебр.[4].

Класифікація

[ред. | ред. код]

Над полем дійсних чисел є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці з дійсними елементами і класичні кватерніони Гамільтона.

Над довільним локальним полем F теж є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці над F і однозначно визначена (з точністю до ізоморфізму) алгебри з діленням. Проте кватерніонна алгебра з діленням над локальним полем є зазвичай не алгебра (-1,-1)F, як у випадку дійсних чисел. Наприклад для p-адичних чисел є алгебрj. з діленням лише у випадку p = 2.

Одним із способів класифікації кватерніонних алгебр над F є однозначна відповідність між класами еквівалентності кватерніонних алгебр над F і класами еквівалентності їх норм як квадратичних форм.

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел

[ред. | ред. код]

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел мають арифметичну теорію схожу до квадратичних розширень .

Нехай — кватерніонна алгебра над і позначає поповнення по p-адичній нормі (тобто p-адичні числа для деякого простого числа p) або звичайній нормі (тобто дійсні числа ). Алгебра є кватерніонною алгеброю над полем .

Тоді може бути ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над або бути алгеброю з діленням.

Кажуть, що алгебра розщеплюється у якщо є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над . В іншому випадку алгебра не розщеплюється у . Наприклад, раціональні кватерніони (-1,-1)Q не розщеплюються у 2 і і розщеплюються для всіх непарних простих чисел. Алгебра раціональних квадратних матриць порядку 2 розщеплюється для всіх .

Кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел яка розщеплюється у є аналогом дійсного квадратичного поля, а алгебра яка не розщеплюється у є аналогом уявного квадратичного поля.

Кількість де кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел не розщеплюється є парним числом. До того ж ця множина визначає B з точністю до ізоморфізму. Добуток простих чисел по яких B розщеплюється називається дискримінантом B.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Gille & Szamuely (2006) p.2
  2. Gille & Szamuely (2006) p.3
  3. Gille & Szamuely (2006) p.7
  4. Lam (2005) p.139

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2017). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 165. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15637-1.
  • Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Т. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. MR 1632779. Zbl 0955.16001.
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Т. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
  • Vignéras, Marie-France (1980). Arithmetique Des Algebres De Quaternions. Lecture notes in Mathematics (French) . Т. 800. Springer-Verlag. ISBN 978-0387099835.