Довжина модуля

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення

Нехай $M$ — модуль над кільцем $R$ . Довжина $M$ визначається як супремум чисел $n$ для яких існує послідовність підмодулів:

0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \ldots \subsetneq N_{n}=M.

Довжина позначається $\ell _{R}(M)$ або $\ell (M)$ .

Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність $0\subsetneq N\subsetneq M$ і довжина модуля не менша 2.
Модуль $M$ має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна.
Нехай маємо коротку точну послідовність:

0\to M'\to M\to M''\to 0

тоді

\ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')

.

\ell (M)=\ell (N)+\ell (M/N)

.

Також звідси випливає формула:

\ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)

Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: $\dim E=\ell (E)$ .
Кільце $\mathbb {Z}$ , що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :

2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}

Циклічна група $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , як $\mathbb {Z}$ -модуль має довжину, що рівна кількості простих дільників n з урахуванням їх кратності.