Гіпотеза Заремби

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Гіпотеза Заремби — твердження теорії чисел про подання нескоротних дробів через неперервні дроби: існує абсолютна стала з такою властивістю: для будь-якого існує таке, що і для розкладу[1]:

виконуються нерівності:

.

У найсильнішому формулюванні фігурує значення для довільного та значення для досить великих [2].

Гіпотезу висунув 1972 року Станіслав Заремба-молодший[pl]. Головний прорив у її дослідженні пов'язаний із працею Бургена і Конторовича[de] 2014 року, в якій слабкий варіант гіпотези доведено для багатьох чисел. Згодом їх результати багато разів покращували.

Мотивація

[ред. | ред. код]

Історично гіпотеза виникла у зв'язку з пошуком оптимального способу чисельного інтегрування на зразок методу Монте-Карло. Через обмеження на неповні частки Заремба оцінював характеристику ґратки, що описує найменшу віддаленість її точок від початку координат[3]. Низка радянських математиків також замислювалися про цю гіпотезу у зв'язку з чисельним інтегруванням, але в друкованому вигляді її ніде не заявляли[4].

Сама постановка задачі пов'язана з діофантовими наближеннями. Для наближення довільного дійсного числа дробом канонічним мірилом якості вважають число , для якого (що більше , то краще наближення). Відомо, що раціональні найкраще наближаються своїми відповідними дробами , для яких відома оцінка . Оскільки , то за наявності безумовної оцінки попередня оцінка не може бути кращою, ніж . Легко отримати й аналогічну (з точністю до сталої) оцінку знизу, тому гіпотеза Заремби — це точно твердження про існування нескоротних погано наближуваних дробів з будь-яким знаменником[5].

Узагальнення

[ред. | ред. код]

«Абетки» значень неповних часток

[ред. | ред. код]

Часто розглядають загальніше питання[6]: як залежать властивості (множини знаменників , для яких існують нескоротні дроби з умовою для всіх ) від абетки (скінченної множини натуральних чисел)? Зокрема, для яких множина містить майже всі або всі досить великі ?

Гіпотеза Генслі

[ред. | ред. код]

Генслі 1996 року розглянув зв'язок обмежень на неповні частки з гаусдорфовою розмірністю відповідних дробів, і висунув гіпотезу, яку згодом спростовано[7]:

Множина містить усі досить великі числа тоді й лише тоді, коли ( — множина дробів з інтервалу , усі неповні частки яких лежать в абетці ,  — гаусдорфова розмірність.

Контприклад[8] побудовано для абетки : відомо що , але одночасно .

Бурген і Конторович запропонували слабшу форму цієї гіпотези, пов'язану зі знаменниками , на які накладено додаткові обмеження. При цьому вони довели її щільнісну версію для сильнішого обмеження, ніж [9].

Обчислення гаусдорфової розмірності

[ред. | ред. код]

Питання обчислення гаусдорфової розмірності для абеток вигляду розглядалося в теорії діофантових наближень задовго до гіпотези Заремби і, мабуть, бере початок із роботи 1928 року[10]. У статті, де запропоновано гіпотезу, Генслі описав загальний алгоритм із поліноміальним часом роботи, заснований на такому результаті[11]: для заданого алфавіту значення можна обчислити з точністю усього за операцій.

Існує гіпотеза, що множина значень таких розмірностей всюди щільна. З комп'ютерних обчислень відомо, що відстань між її сусідніми елементами принаймні не менша [12].

Для абеток із послідовних чисел Генслі отримав оцінку:

.

Зокрема, встановлено, що:

.

Цей факт суттєво використовувався в доведенні центрального результату Бургена та Конторовича[13].

Просування

[ред. | ред. код]

Слабкі точні результати

[ред. | ред. код]

Нідеррайтер[en] довів гіпотезу для степенів двійки та степенів трійки при і для степенів п'ятірки при [14].

Рукавишнікова, розвиваючи простий результат Коробова, показала існування для будь-кого дробу з умовою , де  — функція Ейлера[15].

Щільнісні результати

[ред. | ред. код]

Найсильнішим і найзагальнішим є результат Бургена та Конторовича:

,

тобто що гіпотеза Заремби з параметром правильна для майже всіх чисел. Їхній результат стосувався не лише цієї абетки, але й будь-якої іншої з умовою [16]. Згодом їхній результат покращено для та залишкового члена , де  — стала[17].

Для слабших обмежень той самий метод дозволяє показати, що множина має додатну густину. Зокрема, з подальших покращень відомо, що це виконується коли , зокрема для [18].

Оцінки з гаусдорфовою розмірністю

[ред. | ред. код]

Генслі показав, що якщо , то . Пізніше Бурген і Конторович покращили цю нерівність до показника замість [19]. Для окремих інтервалів значень пізніше отримано сильніші оцінки. Зокрема відомо, що і що за показник степеня прямує до одиниці[20].

Загальна кількість дробів над тією чи іншою абеткою зі знаменниками, що не перевищують , з точністю до сталої дорівнює [21].

Модулярна версія

[ред. | ред. код]

Генслі виявив, що знаменники дробів, які задовольняють гіпотезі Заремби, рівномірно розподілені (з урахуванням кратності) за будь-яким модулем[22]. З цього, зокрема, випливає існування таких дробів зі знаменниками, рівними нулю (і будь-якому іншому значенню) за тим чи іншим модулем.

Наслідок результату Генслі (1994): для будь-якого існує функція така, що для будь-якого існує нескоротний дріб , неповна частка якого обмежена .

При це твердження було б еквівалентним гіпотезі Заремби. Пізніше для простих отримано оцінки швидкості зростання в екстремальних випадках:

  • для деякої сталої істинне, що [23];
  • для будь-кого існує досить велике таке, що [24].

Методи дослідження

[ред. | ред. код]

Сучасні методи, що сягають статті Бургена й Конторовича, розглядають гіпотезу Заремби мовою матриць розміру 2x2 і вивчають відповідні властивості матричних груп. Завдяки співвідношенню відповідних дробів розклад можна записати як добуток матриць:

,

де зірочками в першій матриці закрито числа, значення яких не суттєве.

Керуючись цим, вивчається група, породжена матрицями вигляду:

,

на наявність у ній матриць з тим чи іншим значенням у нижній правій позиції. Для аналізу розподілу таких значень використовують тригонометричні суми, а саме спеціальні аналоги коефіцієнтів Фур'є[25].

Використання такого інструментарію, а також робота фактично з множинами добутків (де елементи множини — матриці) надає задачі арифметико-комбінаторного характеру.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Згідно з загальною теорією неперервних дробів, такий розклад єдиний.
  2. Borosh, Niederreiter, 1983, с. 69
  3. Niederreiter, 1978, с. 988—989, див. також опис поняття «good lattice points» на с. 986
  4. Кан, Фроленков, 2014, с. 88
  5. Коробов, 1963, с. 25, лема 5
  6. Bourgain, Kontorovich, 2014, розділ 1
  7. Hensley, 1996, гіпотеза 3
  8. Bourgain, Kontorovich, 2014, див. гіпотезу 1.3 та коментар після неї
  9. Bourgain, Kontorovich, 2014, гіпотеза 1.7, теорема 1.8
  10. Див. другий абзац у Good, 1941
  11. Hensley, 1996, теорема 3
  12. Jenkinson, 2004, див. огляд обчислювальних результатів у розділі 4, а результат про щільність розподілу значень у розділі 5
  13. Bourgain, Kontorovich, 2014, зауваження 1.11
  14. Niederreiter, 1986.
  15. Moshchevitin, 2012, с. 23, розділ 5.1
  16. Bourgain, Kontorovich, 2014, зауваження 1.20
  17. Magee, Oh, Winter, 2019, с. 92.
  18. Кан, 2017.
  19. Bourgain, Kontorovich, 2014, зауваження 1.15, теорема 1.23
  20. Кан, 2020, див. там само огляд результатів для інших значень
  21. Bourgain, Kontorovich, 2014, зауваження 1.13
  22. Hensley, 1994, с. 54, наслідок 3.
  23. Moshchevitin, Shkredov, 2019, теорема 2
  24. Shkredov, 2020, теорема 5
  25. Bourgain, Kontorovich, 2014

Література

[ред. | ред. код]