Історія логарифмів
Історія логарифмів як алгебричного поняття простежується від античних часів. Ідейним джерелом і стимулом застосування логарифмів став той факт (відомий ще Архімеду[1]), що при перемножуванні степенів з однаковою основою їх показники додаються[2]: .
Попередники[ред. | ред. код]
Індійський математик VIII століття Вірасена[en], досліджуючи степеневі залежності, опублікував таблицю цілочисельних показників (тобто, фактично, логарифмів) для основ 2, 3, 4[3].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Stifel_log.jpg/340px-Stifel_log.jpg)
Вирішальний крок зроблено в середньовічній Європі. Потреба в складних розрахунках у XVI столітті швидко росла, і значна частина труднощів була пов'язана з множенням і діленням багатозначних чисел, а також добуванням коренів. Наприкінці століття декільком математикам, майже одночасно, спала на думку ідея: замінити трудомістке множення простим додаванням, зіставивши за допомогою спеціальних таблиць геометричну й арифметичну прогресії, при цьому геометрична буде початковою[1]. Тоді й ділення автоматично заміниться значно простішим і надійнішим відніманням, спростяться також піднесення до степеня та обчислення кореня.
Першим цю ідею опублікував у своїй книзі «Arithmetica integra» (1544) Міхаель Штифель, який, втім, не доклав серйозних зусиль для практичної реалізації своєї ідеї[4][5]. Головною заслугою Штифеля є перехід від цілих показників степеня до довільних раціональних[6] (перші кроки в цьому напрямку зробили Ніколя Орезм у XIV столітті і Нікола Шюке[ru] в XV столітті).
Джон Непер і його «дивовижна таблиця логарифмів»[ред. | ред. код]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/John_Napier.jpg/220px-John_Napier.jpg)
У 1614 році шотландський математик-аматор Джон Непер опублікував латинською мовою твір під назвою «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Він містив короткий опис логарифмів і їх властивостей, а також 8-значні таблиці логарифмів синусів, косинусів і тангенсів із кроком 1'. Термін логарифм, запропонований Непером, утвердився в науці. Теорію логарифмів Непер виклав у іншій своїй книзі «Побудова дивовижної таблиці логарифмів» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), яку видав посмертно, в 1619 році, його син Роберт.
Судячи з документів, технікою логарифмування Непер володів уже до 1594 року[7]. Безпосередньою метою її розробки було полегшити Неперу складні астрологічні розрахунки[8]; саме тому в таблиці включено тільки логарифми тригонометричних функцій.
Поняття функції тоді ще не було, і Непер визначив логарифм кінематично, зіставивши рівномірний і логарифмічно-уповільнений рух; наприклад, логарифм синуса він визначив так[9]:
Логарифмом даного синуса є число, яке арифметично зростало завжди з тією ж швидкістю, з якою повний синус почав геометрично спадати.
У сучасних позначеннях кінематичну модель Непера можна зобразити диференціальним рівнянням[10]:
- ,
де M — масштабний множник, уведений для того, щоб значення вийшло цілим числом з потрібною кількістю знаків (десяткові дроби тоді ще не набули широкого застосування). Непер взяв M = 10 000 000.
Строго кажучи, Непер табулював не ту функцію, яку зараз називають логарифмом. Якщо позначити його функцію , то вона пов'язана з натуральним логарифмом так[10]:
Очевидно, , тобто логарифм «повного синуса» (відповідного 90°) є нуль — цього й домагався Непер своїм визначенням. Також він хотів, щоб усі логарифми були додатними; неважко переконатися, що ця умова для виконується: .
Основна властивість логарифма Непера: якщо величини утворюють геометричну прогресію, то їх логарифми утворюють прогресію арифметичну. Однак правила логарифмирования для неперової функції відрізнялися від правил для сучасного логарифма, наприклад:
Подальший розвиток[ред. | ред. код]
Як згодом виявилось, через помилки в алгоритмі всі значення таблиці Непера містили після шостого знака хибні цифри[11]. Однак це не завадило новій методиці обчислень набути популярності, і складанням логарифмічних таблиць зайнялися багато європейських математиків. Йоганн Кеплер 1620 року видав астрономічний довідник, у який вставив захоплену посвяту Неперу (не знаючи, що винахідник логарифмів уже помер). У 1624 році Кеплер опублікував власний варіант логарифмічних таблиць (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos)[12]. Використання логарифмів дозволило Кеплеру відносно швидко завершити багаторічну працю зі складання Рудольфинських таблиць, які закріпили успіх геліоцентричної астрономії.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Briggs_-_Canon_logarithmorum_pro_numeris_serie_naturali_crescentibus_ab_1._ad_20000.%2C_s.d._-_72507.jpg/220px-Briggs_-_Canon_logarithmorum_pro_numeris_serie_naturali_crescentibus_ab_1._ad_20000.%2C_s.d._-_72507.jpg)
Через кілька років після книги Непера з'явилися логарифмічні таблиці, що використовують ближче до сучасного розуміння логарифма. Лондонський професор Генрі Бріґґз видав 14-значні таблиці десяткових логарифмів (1617), причому не для тригонометричних функцій, а для довільних цілих чисел до 1000 (7 років потому Бріґґз збільшив кількість чисел до 20000). 1619 року лондонський вчитель математики Джон Спейделл[en] (англ. John Speidell) перевидав логарифмічні таблиці Непера, виправлені і доповнені так, що вони фактично стали таблицями натуральних логарифмів. У Спейделла теж були і логарифми самих чисел до 1000 (причому логарифм одиниці, як і у Бріґґза, дорівнював нулю) — хоча масштабування до цілих чисел Спейделл зберіг[13][14].
У 1620-і роки Едмунд Вінґейт[en] і Вільям Отред винайшли першу логарифмічну лінійку, яка, до появи кишенькових калькуляторів, служила незамінним розрахунковим знаряддям інженера[15]. За допомогою цього компактного інструменту можна швидко виконувати всі алгебричні операції, зокрема й за участю тригонометричних функцій[16]. Точність розрахунків — близько 3 значущих цифр.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Sliderule_2005.jpg/600px-Sliderule_2005.jpg)
Незабаром з'ясувалося, що місце логарифмів у математиці не обмежується розрахунковими зручностями. У 1629 році бельгійський математик Грегуар де Сент-Вінсент показав, що площа під гіперболою змінюється за логарифмічним законом[17]. У 1668 році німецький математик Ніколас Меркатор (Кауфман) відкрив і опублікував у своїй книзі Logarithmotechnia розклад логарифма в нескінченний «ряд Меркатора»[18]. На думку багатьох істориків, поява логарифмів значно вплинула на багато математичних концепцій, зокрема, на:
- Формування і визнання загального поняття ірраціональних і трансцендентних чисел[19].
- Появу показникової функції і загального поняття числової функції, числа Ейлера, розвиток теорії різницевих рівнянь[20].
- Початок роботи з нескінченними рядами[18].
- Загальні методи розв'язування диференціальних рівнянь різних типів.
- Істотний розвиток теорії чисельних методів, необхідних для обчислення точних логарифмічних таблиць.
До кінця XIX століття загальноприйнятого позначення логарифма не було, основу a вказували то лівіше і вище символу log, то над ним. Врешті-решт математики прийшли до висновку, що найзручніше місце для основи — нижче рядка, після символу log: . Короткі позначки найуживаніших видів логарифма — для десяткового і натурального — з'явилися значно раніше відразу в кількох авторів і закріпилися остаточно також до кінця XIX століття[21].
Близьке до сучасного розуміння логарифмування — як операції, оберненої до піднесення до степеня — вперше з'явилося у Валліса (1685) і Йоганна Бернуллі (1694), а остаточно його узаконив Ейлер[11]. У книзі «Вступ до аналізу нескінченних» (1748) Ейлер дав сучасні визначення як показникової, так і логарифмічної функцій, навів розклади їх у ступеневі ряди, особливо відзначив роль натурального логарифма[22]. Ейлеру належить і заслуга поширення логарифмічної функції на комплексну область.
Логарифмічні таблиці[ред. | ред. код]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Abramowitz%26Stegun.page97.agr.jpg/220px-Abramowitz%26Stegun.page97.agr.jpg)
Зі властивостей логарифма випливає, що замість трудомісткого множення багатозначних чисел досить знайти (за таблицями) і додати їх логарифми, а потім з тих самих таблиць (розділ «антилогарифми») виконати потенціювання, тобто знайти значення результату за його логарифмом. Виконання ділення відрізняється тільки тим, що логарифми віднімаються.
Перші таблиці логарифмів опублікував Джон Непер (1614), і вони містили лише логарифми тригонометричних функцій, причому з помилками. Незалежно від нього свої таблиці опублікував Йост Берджі[en], друг Кеплера (1620). 1617 року оксфордський професор математики Генрі Бріґґз опублікував таблиці, які вже включали десяткові логарифми самих чисел, від 1 до 1000, з 8 (пізніше — з 14) знаками. Але й у таблицях Брігса виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 році в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker)[23].
В СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів[24]:
- Таблиці Брадіса, що видаються від 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та для інженерних розрахунків, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
- Професійний збірник семизначних таблиць для точних обчислень[25].
- Класичні шестизначні таблиці, зручні для розрахунків з тригонометричними функціями[26].
- П'ятизначні таблиці натуральних значень тригонометричних величин, їх логарифмів та логарифмів чисел[27].
- Таблиці натуральних логарифмів у 2 томах[28].
- П'ятизначні таблиці логарифмів комплексних чисел[29].
Розширення логарифма на комплексні числа[ред. | ред. код]
Перші спроби поширити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII—XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося — в першу чергу з тієї причини, що тоді ще не було ясно визначено саме поняття логарифма[30]. Дискусія з цього приводу точилася спочатку між Лейбніцем і Бернуллі, а в середині XVIII століття — між д'Аламбером і Ейлером. Бернуллі і д'Аламбер вважали, що слід визначити, тоді як Лейбніц доводив, що логарифм від'ємного числа є уявним числом[30]. Повна теорія логарифмів від'ємних і комплексних чисел, яку опублікував Ейлер у 1747—1751 роках, по суті нічим не відрізняється від сучасної[31]. Хоча суперечка тривала (д'Аламбер відстоював свою точку зору і детально аргументував її в статті своєї «Енциклопедії» та в інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття набув загального визнання.
У XIX столітті, з розвитком комплексного аналізу, дослідження комплексного логарифма стимулювало нові відкриття. Гаусс 1811 року розробив повну теорію багатозначності логарифмічної функції[32], яка визначається як інтеграл від . Ріман, спираючись на вже відомі факти про цю та аналогічні функції, побудував загальну теорію ріманових поверхонь.
Розробка теорії конформних відображень показала, що меркаторівську проєкцію в картографії, яка виникла ще до відкриття логарифмів (1550), можна описати як комплексний логарифм[33].
Див. також[ред. | ред. код]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 9.
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 206.
- ↑ Gupta, R. C. (2000), History of Mathematics in India, у Hoiberg, Dale; Ramchandani (ред.), Students' Britannica India: Select essays, New Delhi: Popular Prakashan, с. 329, архів оригіналу за 17 березня 2018, процитовано 5 вересня 2019
{{citation}}
:|editor3-first=
з пропущеним|editor3-last=
(довідка) - ↑ История математики, том II, 1970, с. 54—55.
- ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart, Winston, с. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 210.
- ↑ Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 13.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 56.
- ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — 224 с. — С. 40
- ↑ а б История математики, том II, 1970, с. 59.
- ↑ а б История математики, том II, 1970, с. 61.
- ↑ Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 39.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 63.
- ↑ Charles Hutton. v = onepage & q = Speidell% 20logarithm & f = false Mathematical Tables. [Архівовано 11 вересня 2016 у Wayback Machine.] London, 1811, p. 30.
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 65-66.
- ↑ Березин С. И. Счётная логарифмическая линейка М.: Машиностроение,1968
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 133.
- ↑ а б Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 52.
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 51, 286, 352.
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 213, 217.
- ↑ Cajori., Florian (1991). A History of Mathematics, 5th ed. AMS Bookstore. с. 152. ISBN 0821821024.
- ↑ Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, том II. — 1963. — С. 25
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 62.
- ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия
- ↑ Вега Г. (1971). Таблицы семизначных логарифмов (вид. 4). М.: Недра.
- ↑ Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. — 1962. — 664 с.
- ↑ Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел. — 6. — М. : Наука, 1972.
- ↑ Таблицы натуральных логарифмов (в 2 томах). — 2. — М. : Наука, 1971.
- ↑ Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. — М., 1952.
- ↑ а б История математики, том III, 1972, с. 325-328.
- ↑ Рыбников К. А. История математики. В 2-х томах. — М.: Изд. МГУ, том II. — 1963. — С. 27, 230—231
- ↑ Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций, 1981, с. 122-123.
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm [Архівовано 16 жовтня 2015 у Wayback Machine.] том II. // Геометрия. — М.: Наука, 1987. — 416 с. — С. 159—161
Література[ред. | ред. код]
- Абельсон И. Б. Рождение логарифмов. — М.—Л. : Гостехиздат, 1948. — 231 с. [Архівовано 24 серпня 2019 у Wayback Machine.]
- Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. — Харьков : Изд-во Харьковского университета, 1952. — 33 с.
- Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М. : Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с. [Архівовано 16 жовтня 2015 у Wayback Machine.]
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II. [Архівовано 18 вересня 2011 у Wayback Machine.]
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III. [Архівовано 24 березня 2017 у Wayback Machine.]
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М. : Наука, 1981. — Т. II.
- Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград : Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.
|