Теорема про зміну імпульсу системи

Теорема про зміну імпульсу (кількості руху) системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Зв'язує кількість руху з імпульсом зовнішніх сил, що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кількістю руху (імпульсом) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) усіх тіл, що входять у систему. Імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, це сума імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Теорема про зміну кількості руху системи стверджує:

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Теорема допускає узагальнення в разі неінерційних систем відліку. У цьому випадку до зовнішніх сил необхідно додавати переносні та коріолісові сили інерції.

Доведення

Нехай система складається з $N$ матеріальних точок з масами $m_{i}$ та прискореннями ${\vec {a}}_{i}$. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

• Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять до системи, що розглядається. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером $i$, позначимо ${\vec {F}}_{i}$.
• Внутрішні сили — це сили, з якими взаємодіють одне з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером $i$ діє точка з номером $k$ будемо позначати ${\vec {f}}_{i,k}$, а силу дії $i$-ої точки на $k$-ту точку — ${\vec {f}}_{k,i}$. Очевидно, що якщо $i=k$, то ${\vec {f}}_{i,k}=0.$

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з матеріальних точок, що розглядаються, у вигляді

$m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.$

Враховуючи, що $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$, і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

$\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.$

Вираз $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}$ є сумою всіх внутрішніх сил, що діють у системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі ${\vec {f}}_{i,k}$ відповідає сила ${\vec {f}}_{k,i}$ така, що ${\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}$ і, отже, виконується ${\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.$ Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

$\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.$

Використовуючи для кількості руху системи $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ позначення ${\vec {P}}$, отримаємо

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.$

Увівши зміну імпульсу зовнішніх сил $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальній формі:

$d{\vec {P}}=d{\vec {R}}.$

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніяк вплинути на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими $t_{1}$ і $t_{2}$, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),$

де ${\vec {P}}_{1}$ і ${\vec {P}}_{2}$ — значення кількості руху системи в моменти часу $t_{1}$ і $t_{2}$ відповідно, а ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ — імпульс зовнішніх сил за проміжок часу $t_{2}-t_{1}$. Відповідно до сказаного раніше та введених позначень, виконується

${\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{i}(t)dt.$

Закон збереження кількості руху системи

З теореми про зміну кількості руху системи випливає, що за відсутності зовнішніх сил (замкнута система), а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю виконується $d{\vec {P}}=0$ і ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$. Інакше кажучи, справедливе співвідношення

${\vec {P}}=const.$

Отже, маємо висновок:

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина стала.

Це твердження становить зміст закону збереження кількості руху системи.

Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на напрям. Тоді дорівнює нулю і зміна проєкції кількості руху системи на цей напрямок, тобто, як кажуть, зберігається кількість руху в цьому напрямку.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яке виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа. Теорема про зміну кількості руху системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:

Якщо ідеальні стаціонарні зв'язки допускають у будь-який момент поступальне переміщення системи паралельно до деякої нерухомої осі $x$, то похідна за часом від проєкції кількості руху системи на вісь $x$ дорівнює сумі проєкцій на ту ж вісь всіх зовнішніх активних сил, що діють на систему.

«Активні» стосовно сил (нижче у формулах їх позначено символом $^{a}$) означає «ті, що не є реакціями зв'язків».

Дійсно, за умовою, в будь-який момент усі точки системи допускають зміщення на $\delta x$ паралельно до нерухомої осі $x$. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки $\delta {\vec {r}}_{k}$ на ${\vec {i}}\delta x$, отримуємо:

$(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}\delta x$

або

${\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}$

або

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}$

остаточно знаходимо:

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}$

У передостанньому рівнянні до суми активних сил ${\vec {F}}_{k}^{a}$ включено зовнішні активні та внутрішні активні сили. Однак геометрична сума внутрішніх активних сил, як попарно рівних та протилежних, дорівнює нулю, тому в остаточному рівнянні представлено лише зовнішні (введено додатковий значок $^{e}$ від англ. external) активні сили.

Історія

Про закон збереження кількості руху Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року, писав: «Кількість руху, одержувана беручи суму кількостей руху, коли вони здійснюються в один бік, і різницю, коли вони відбуваються в боки протилежні, не змінюється від взаємодії тіл між собою». Коментатор, у зв'язку з цим формулюванням, зазначає, що, хоча в ньому розглянуто лише випадок руху тіл уздовж однієї прямої, І. Ньютон, як показують його інші висловлювання в тій самій книзі, у своїх поглядах цим окремим випадком не обмежувався.

Див. також

• Теорема про рух центра мас системи
• Теорема про кінетичну енергію системи
• Теорема про зміну моменту імпульсу системи